高中数学教学中融入数学史的实验研究

一、教学实验

正如弗莱登塔尔批评的那样，现行的教材并不是按照历史的发展来安排的，这种情况对在概念教学中应用数学史的实验带来了一定的困难，比如对数的发明。为了解决这些矛盾，就需要我们对历史材料进行必要的剪裁和加工。具有教育价值的数学史料的缺乏是我在研究中遇到的最大困难，由于本人能力有限，只能做小范围内的试验。

1.数学史在函数概念教学应用的实验研究

(1)函数概念的历史^[21]

1）函数概念的萌芽时期

函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现。早期的数学是不研究事物的运动变化的。古希腊科学家亚里斯多德曾指出，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象，等等。受其影响，直到14世纪，数学家才开始研究物体的运动问题。到了16世纪，由于实践的需要，自然科学转向对运动的研究，自然中各种变化和变化着的物理量之间的关系成为数学家注意的对象。伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，等等。这正是函数概念所表达的思想意义。

16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题，注意到量的变化及量之间的依赖关系，在数学中引进了变量思想，成为数学发展的里程碑，也为函数的产生准备了思想基础。但直到17世纪下半期，牛顿-莱布尼兹建立微积分时，数学上还没有明确的函数概念。

函数作为数学术语是由德国数学家莱布尼兹在1673年引进的，当时莱布尼兹所指的函数是曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，凡是与曲线上的点有关的量成为函数。从这个定义可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。

总之，18世纪之前，函数的研究多从属于曲线的研究，带有“几何”烙印的莱布尼兹的函数的定义可以说是这个时期函数思想发展的总结。

2）函数概念的初步形成

18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。瑞士著名数学家约翰.贝努利在研究积分计算问题上，提出：积分工作的目的是给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。在对待“找出变量本身之间的关系”表示上，显然用来布尼兹定义的函数表示是很困难的，于是1718年约翰.贝努利从解析的角度给出了函数的定义：变量的函数就是变量和常量以任何方式组成的量。约翰的学生，18世纪著名的数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》（1748）中进一步推广了他老师的定义，他说：“常量是指永远保持同一值的确定的量”，“变量是指不取定值的量或者说通用的量，它本身蕴涵了一切通用值”。“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析表达式”。1755年，欧拉在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下的定义：如果某些量以这样的方式依赖于另一量，即当后面这些量变化时，前面这些变量也随着变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。早在1734年欧拉就给出了非常形象的一直沿用至今的函数的符号f(x).欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确的表达了变量之间相互依赖的变化关系，，这使我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步，它反映了在对现实关系的摹写上的变化。值得注意的是，欧拉还对函数进行了分类：代数函数和超越函数；有理函数和无理函数；单值函数和多值函数。

1797年，拉格朗日在《解析函数论》中提出：能用幂级数表示的关系为函数；1807年，傅里叶在《热的分析理论》中指出：任何函数都可以表示成三角函数，这说明，某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的结论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。

3）函数概念的确立

基于前人对函数概念的认识和发展，1821年法国数学家柯西在函数的定义中引入了“自变量”的概念，他指出：依次取不同的值的量叫做变量。当变量之间这样联系起来的时候，人们通常想象这些量使用其中一个量来表示的，于是这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其他量就叫做自变量的函数。按照这个定义，只要有自变量x的一个值可以决定y 的相应值，则y就是x的函数。显然，这个函数定义比以往的要广泛的多。后来德国数学家狄利克雷和黎曼注意到，重要的不是“自变”所引起的因变，应该是变量之间的“对应”关系。1837年，狄利克雷给出了意义更为广泛的函数的定义。

狄利克雷的函数定义：若对于给定区间上x的每个值，由唯一的一个y 与之对应，则称y是x函数。

狄利克雷的函数的定义，成功的引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不明确的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受，成为函数的近代定义的原型。

4）函数概念的再次发展

19世纪末20世纪初，把函数看作一种对应或者映射的思想已经成形。如果前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围，这不仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题，更主要的是康托儿开创了一个崭新的数学分支——集合论，没有用多少年，到20世纪初，集合论的思想和方法就开始深入到数学的各个领域，著名数学家庞加莱曾说过：“由于有了集合论，现在我们可以说，数学的完全严格性已经达到了。”

所以，用集合论的语言重新叙述函数的定义，成了进一步严格它的最好的途径。布尔巴基学派1939年给出了函数的一个较完整的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数，如果对每一个xE,都存在唯一的yF ,它满足给定的关系。我们称这样的运算为函数，它以上述将跟x有给定关系的yF与每一个xE相联系。我们称y是函数在元素x处的值，函数由给定的关系所决定。两个等价的函数关系确定同一个函数。这个定义之所以严密性上优越于先前的函数概念，一方面在于它用集合的语言定义了自变量、因变量的取值和它们的对应法则——关系；另一方面在于该定义中不含未定义的概念，如19世纪的函数概念中都含有“对应”，而究竟什么是“对应”数学中并未定义它，而该定义中的“关系”是经过严格定义的。

我们现在从集合论的角度给出函数的定义：设集合X、Y，定义X与Y的积集XY如下：XY={（x,y）}。积集XY中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）R，则称x与y有关系R,记为xRy，若(x,y)R, 则称x与y无关系R。现设f时x与y的关系，即f包含于XY，如果(x,y),(x,z )f,比如y=z,那么称f为X到Y函数。

以上函数的定义，是从集合论的角度来对它的阐述，它们力图从数学中已定义的概念出发，用数学自身的逻辑及其特有的抽象，使函数达到了空前的严密化程度，这不仅是函数自身的进步，也是数学整体的丰富和发展。

综上所述，函数概念的发展经历了萌芽时期、初步形成时期（变量说）、确立时期（对应说）、和再次发展时期（集合说），函数概念在一步步走向完善。而在21世纪的今天，随着人们对客观世界认识的不断深入，函数概念还在不断的发展与完善中。

(2)函数概念的历史对教学的启示

从函数概念发展的本身来看，以下特点会造成学生理解上的困难。

1）“变量”概念的复杂性和辩证性

函数涉及好多的子概念：映射、变量、定义域、值域、对应等。其中“变量”被当成不定义的原名引入，在教学中将“变量”解释为“变化的量”，显然是同义反复，与学生理解“变量”的意义没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实生活中与时间、空间相关，但在数学中对时空是没有定义的。

另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。在日常生活中变量的形式表示之间没有可替代性（例如，“牛吃草”中的“牛”与“草”是不可替代的）。但数学中的“变量”具有形式可替代性，即y=f(x)与x=f(y)并没有本质上的不同，而且它既有可变性又有确定性，它可以很好地反映静止与变化、量变与质变、内容与形式等的辩证关系。因此，变量概念的形式是辩证法在数学中应用的典范。

同时，认识变量之间的关系是认识函数概念的基础，它需要学生具备较高的认知水平，历时长，这也增大了函数概念学习的难度。

2）函数概念表示方式的多样性

函数概念表示方式的多样性，一方面表现为在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示，另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一个表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。

3）函数符号的抽象性

y=f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字幕上是看不出来的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x(或y)来想象定义域（或值域）到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。

认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展的简约反映。由于中学生的认知心理发展的局限性，“集合论”的函数的定义在中学数学未被提及。不难发现，人类在探索函数概念认知过程中面临的困难也正是学生在函数概念学习理解中的困难所在。在函数概念发展史中，变量说体现了函数概念的“过程性”，而对应说、集合说体现了函数概念的“对象性”，这符合数学概念学习中先过程后对象的认知顺序。因此，学生掌握函数概念的过程要简约的重演数学科学发展中对函数的认识过程。例如，函数概念的变量说中谈到的“解析表达式”、“由曲线确定的关系”、“依赖变化”、“变量”等，尽管其范围狭窄、表达不明确，但生动直观，学生容易理解，可作为正式定义前的铺垫材料。

结合函数概念的发展历史，在函数概念学习中，我们必须了解学生的认知结构，在他们的头脑中构建一个情境（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映，然后通过函数概念形成过程在头脑中的反映从而转化为抽象的、相互联系的、整体的函数概念的对象，完成从“过程”上升为“对象”的函数概念的学习。^[22]

（3）教学设计^[23]

函数概念的建构

[教学目标]

通过本小节的教学，使学生在映射的基础上理解函数的概念

[内容分析]

1．函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的：

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟一的值y与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。但是，由于这个定义并未完全揭示出函数概念的本质，在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个集合之间的一种映射，按照这种观点，函数是两个数集（或其某个子集）之间的一种特殊的映射，这样就使我们对函数概念有了更深一层的认识。

例如，对于函数如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用映射的观点看，就显得非常自然。

2．函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域。

函数的对应法则通常用记号f表示，函数记号y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”作用下得到y。在比较简单的情况下，对应法则f可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，而要用其他方式（如列表、图象）来表示。

定义域是指原象的集合，即自变量的取值范围。应指出初中讲函数概念时，为便于接受未提出较为抽象的“定义域”的术语，而采用了较为通俗的“自变量的取值范围”的说法，对于两个对应法则相同的函数来说，如果定义域不同，应该被看作是不同的函数，在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的，这时函数的定义域通常是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合，而对于实际应用问题来说，自变量所取的值还必须是实际问题本身所允许的。

值域是所有函数值组成的集合，它取决于定义域和对应法则，应该指出，初中讲函数时，限于要求未提及值域这一术语。

3．函数通常用符号f(x)表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：

y=f(x)是表示y是x的函数，不是表示y等于f与x的乘积；

f(x)不一定是一个解析式；

f(x)与f(a)是不同的。

4．函数主要有三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

解析法是用解析式来表示函数关系，在中学所研究的主要是这类函数，有了解析式，可以明了变量间的关系，并求出相应于任意自变量的函数值。

列表法是用列表来表示两个变量间的函数关系，事实上，平方表、平方根表、三角函数表等都是用列表法来表示函数关系的。这种方法的优点是不必计算即可看出两个变量的值之间的对应关系，但在自变量取值较多时，难以将两个变量的对应数值—一列出。

图象法是用图象表示两个变量间的函数关系，其优点是直观形象，但对函数关系的表示显得较为粗略。

应该指出，以上表示函数的三种方法具有互补性，因此在实际研究函数时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再据此在平面直角坐标系中描点，最后将这些点连成曲线，形成该函数的图象。

5．由于在中学里主要研究自变量连续变化的较为简单的函数，在表示定义域和值域时常用到区间的概念，关于几种区间的意义及其符号表示，应要求学生理解，避免用错。

为了表示某些区间，课本中还引进了“无穷大”的概念及其符号表示，应向学生强凋，无穷大是一个符号，而不是一个具体的数。

[课前准备]

课前组织学生分小组查资料，解决如下问题：

1. 在初中课程中函数概念如何定义的？

2. 在高中课程中函数概念如何定义的？

3. 上网查询有关“函数概念”的资料，看一下函数发展过程中一共有几个定义，分别是谁提出的？提出的背景是什么？

4. 小组内讨论两个函数概念之间的联系与区别。

[教学过程]

1．复习提问

初中学习的函数概念是怎样定义的？

初中学过哪些函数？

分析函数概念发展史引入新课。

2．新课讲解：

给出在映射的基础上的函数的概念，通过练习熟练函数的判定方法。

接上面的复习提问讲映射观点下的函数概念，并对两种定义进行对比，通过对比，使学生初步获得以下印象：新定义涵盖了原定义，但比原定义更一般、更抽象；表示一般函数对应法则，初中未出现专用记号，而这里出现了专用记号f(x)等；初中提到的自变量的取值范围，这里改用更为抽象的“定义域”的说法；这里提到函数的“值域”而初中回避了这一提法。

在讲函数记号f(x)时，应强调它不是指f与x的乘积；函数除可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，φ(x)等表示。

3．新课讲解：分析在映射的基础上的函数的概念，通过问题的方式明确函数的表示方法，澄清有关概念。

（1）“函数”是解析式对不对？函数的表示方法有哪些？

（由于函数的三种表示法学生在初中都接触过，所以在复习的基础上展开新课。）

应说明，每种表示法部有其优点，采用哪种表示法要由具体问题来定，而且通常是几种表示法一起并用。

（2） 

根本就画不出图像，是不是函数呢？

（3）函数的解析式只有一个吗？

介绍分段函数，历史上真函数与假函数的讨论。

（4）函数区间都是连续的吗？

介绍狄利克雷函数

说明函数的区间不一定是连续的。

（5）、比较变量说和对应说（略）

4、练习：（略）

5．课堂小结

函数的概念，运动变化观点下的定义与映射观点下的定义；

函数的三个要素：对应法则、定义域、值域；

函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法。

6．作业

2．数学史在对数概念教学应用的实验研究

(1)对数概念发展的历史^{[24] [25]}

对数是中学数学也是初等数学中的重要内容，对数的发明者是十六世纪末十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier,1550-1617年），把对数进行推广的是英国数学家布里格斯（Briggs,1561-1631年）。

对数产生于十七世纪的前二十五年，也就是纳皮尔所处的年代。15、16世纪的欧洲，航海和贸易的迅速发展，极大地推动了天文学和三角学的进步。随之出现的大量的大数计算工作（主要是乘法和除法）变得日益重要起来。虽说乘除法并不难，但是对许多很大的数进行运算要做到快速准确就不是一件容易的事了。特别是天文学家，为了确定行星的位置或制作天文数表，往往要花上几天甚至几个月的时间进行计算。这样就想到改进计算方法，特别是将乘除转化为加减，这样就可以事半功倍了。

很自然，人们的头脑中一般存在这样的思维倾向，即试图用简单的加减运算替代复杂的乘除运算。这种努力在16世纪已经付诸实践了，例如当时人们就广泛使用代数公式：

与三角公式：来达到计算的目的。

然而，这种方法用于数的运算就显得非常繁琐。因此简便的计算方法便成为人们寻求的目标，但是数学的发展往往都不是刻意的。对数的发现也可以说是一种有目的的寻求与无意义拾来的巧妙结合。这种“无意拾来”就表现在人们对一些数列的特征的关注上。

1544年，德国数学家斯蒂费尔（M.Stifel,1487----1567）在《整数运算》一书中，列出了如下的两个数列：

…，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…

这里第一行是等差数列，第二行是等差数列，它称第一行的数为“指数”（德文exponent,原意是代表者），并明确地指出了：等比数列中的乘、除、乘方、开方，可以转化为等差数列中的加、减、乘、除来实现。可惜得是，斯蒂费尔并没有由此做出更深入地研究，而把发明对数的机会失去了。而由苏格兰的纳皮尔（John Napier,1550---1617）完成了这一发明。

从形式上看，由等差数列与等比数列的关系中引出的对数概念似乎与指数概念完全无关，其实不然，对数与指数的互逆关系，早就隐含在对数的定义中了。例如，以a为公比的等比数列与其相应的等差数列对应如下：

…-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,……

…

如果设上排的数为y，下排的数为x，那么这两列数之间始终保持着的关系。因此，把等差数列中的数（y）定义为与它对应的等比数列中的数（）的对数，就是从关系出发，把幂函数定义为以a为底的对数，纳皮尔之所以没有这样明确指出的主要原因是当时指数函数尚未完善（很奇怪在数学史中对数概念先于幂的概念形成，幂的符号直到1637年经笛卡儿的改进才成为现在通用的符号）。按当时选择符号的惯例，人们把logarithm(对数)一词的头三个字母log作为对数的符号，的对数记作，没有“底”概念，当然也就没有底的符号。纳皮尔对数理论的发表，标志着对数的诞生。

然而，纳皮尔对数无论从实用价值和理论意义来说，仍有待于发展。但是，人们对对数研究的热情被激发起来了，特别是天文学家几乎以狂喜的心情来接受这一发现，英国伦敦格远沙姆（Gresham College）的教授布里格斯最先认识到对数的重要性。他于1616年专程去苏格兰拜访纳皮尔，这在当时可是一个了不起的决定，两人相隔千里，没有火车、汽车、飞机，只有乘马前往。见面时，两人为有这样的知己而流泪拥抱。布里格斯提出改良对数的意见，建议1的对数是0，10的对数是1，100的对数是2等等，以便于应用，这也是常用对数的产生。第二年，纳皮尔去世，布里格斯以全部的精力继承纳皮尔的事业，于1624年出版了《对数运算》一书，算出了以10为底1—20000及90000—100000的14位对数表，这种对数被称为常用对数，并用“首数”这个术语来称呼对数的整数部分，20000—90000之间的常用对数还来不及计算，布里格斯就逝世了。布里格斯不仅研究对数还热心传播对数，到十七世纪前半期，整个欧洲很快采用了对数，“对数尾数”由英国牛津大学教授华里斯于1693年首先使用。^[26]

但是，直到18世纪数学大师欧拉才给出了一个不太完整的对数定义：设a 是一个固定的数（a>1）,如果，则称指数x为y的对数，记为：。

至此，才开始真正步入对对数的本质认识，逐渐建立起相应的对数理论，同时为对数函数的研究铺垫了基础。

(2)对数概念发展历史对教学的启示

1）对数发明过程的思维特点

从对数的发现过程我们容易归纳出其所蕴含的数学思维特点，挖掘这些思维特征，对我们研究对数的教学无疑会产生重要的影响，从而使我们的教学更加符合对数发展的内在规律。

首先是思维的迁移。从上述分析我们了解到发现对数的切入点在于关于数列特征的研究，然而从数列到对数是数学思维的一次重大迁移，它包含了思维中的类比、推广、和归纳。

其次是由形象思维到抽象思维的启示。从远处说，由阿基米德到真正认识对数经历了1000多年的时间，从近处说，由舒开、斯蒂费尔到纳皮尔的《奇妙的对数表的说明》也经历了有具体形象到抽象思维的漫长过程，其他的数学发展过程基本上都呈现出这样的特点。

再次是实际需要促成数学思维的发展。每一个数学理论的形成或一次数学思维的发展起因往往都是实际的需要，对数也不例外，而且表现得更为突出。纳皮尔在《奇妙的对数表的说明》的前言里告诉了我们他发明的对数的动机，讲得非常轻松实在：“没有什么比大数的乘除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍计算的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长期的思考，我终于找到了一些漂亮的简短的法则……”。^[27]

2）对数发明历史对教学的启示

现行教材对对数的处理是建立在指数的基础上的，从运算的角度来说，对数运算是指数运算的逆运算，在对数的教学中，将对数与指数加以联系是自然而有效的做法。现行教材的这种处理方式，无论从教材的系统性考虑还从理论内在的联系性考虑都是合理的。但在教学中还存在学习上的一些问题。

其一、学生虽然能理解对数由指数而来的基本关系，但对对数的本质含义或者对对数与指数的本质联系把握不够，因而更多地表现出来的现象是，只简记、死记对数运算法则和有关公式，而对法则和公式所蕴含的本质含义理解不透，最终导致在解决有关数学问题时，只会简单的套用法则和公式，而不能达到灵活地、真正地运用对数公式和法则来解决问题的层面，这对培养学生的能力，发展学生的智力都带来了消极的影响。例如，虽然学生表面上已掌握了公式：，但还是经常出现诸如或者等错误，究其原因与学生对对数的本质含义理解不透不无关联。

其二、尽管能够用指数解释对数的来源，但这样似乎有处理简单化的倾向。事实上,人类经过千百年的漫长探索和研究才逐渐形成了对数概念和计算方法，从这点折射出人们对它的理解存在一定的难度，前人是如此，我们的学生也应如此。因而,在教学中像前人一样由等差数列和等比数列的对比关系来切入对数的概念，应该说既符合对数的历史发展过程，也能使对数概念教学引入更加自然，有利于学生体会到对数概念的本质。

但是，现行高中教材的数列编排在对数内容之后，因而如果以对数历史的发展进程来编写教学内容的话，那么许多地方都需要加以改动，这是值得商榷的。

其三、对数概念是在一定的历史背景下研究和发展起来的，因而从实际需要引入对数概念，可以让学生充分认识到学习对数的意义。例如通过问题：对这一张纸，须经多少次折叠其高度能超过珠穆朗玛峰？能做到吗？来引导学生理解对数的本质含义，同时体会到学习对数的现实意义所在。^[28]

(3) 教学设计^[29]

对数的教学设计

[目的要求]

1．了解对数发明的历史，理解对数的概念

2．会根据对数的概念求对数的值

3．会将指数式写成对数式

[内容分析]

1．本课从实际例子引出对数问题，并指出对数问题就是已知底数和幂，求指数的问题，这表明了对数与指数的联系，因此，学习对数要充分利用指数的知识。

当a＞0时，，如何用N和b表示a?  如何用N和a来表示b呢？

2．请查阅有关“对数”的资料主要解决以下问题：

1) 对数发明的背景知识；

2) 对数发明过程中感人的故事；

3）对数发明的过程；

4）对数的价值。

3．请将上述问题加以整理，准备上课交流，并将提出不理解的问题。

[教学过程]

1、让学生回顾：在指数形式中（在这里我们依然从指数引入对数），我们更关心指数b的情况，也就是说，对于底数a ，我们总是事先让它是某个确定的值，这样，给定一个b的值，经过计算，就相应得到一个幂N的值，这个过程我们称之为求幂的过程。

2、举例说明：已知a=2，求当指数b=1,2,3,4,5时，相应的幂N的值。如指数b取更大的值，如b=10,我们也能很快算出：

3、提出问题：如果已知幂的值为1024（当然底数不变，仍然是2），你能很快算出指数b=10吗？

现在这个问题与上面的已知指数b求幂N的过程正好相反，现在的问题是已知幂N求指数b,我们把它叫做（已知幂）求指数的过程

4、向学生介绍对数的概念，为了明确a，b，N的意义可列下表：