高中数学教学中融入数学史的理论研究

一、数学史在数学教学中的作用

在数学教育中整合历史的做法，可以找到一定的理论根据。在历史维度(historicaldimension)的数学教学的教学模式中，有两个要素扮演了重要的角色:“发生原理(geneticprinciple)”和“建构主义(Constructive)”的思想。“发生原理”是指在教学上要按照历史发展的顺序进行知识的传授。数学教学中发生方法的原理要求教授一门学科的方法应该尽可能以科学中内在的知识的自然方式和方法为基础。“建构主义”用冯�格拉斯菲尔德(VonGlasersfeld)话说就是:“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”。HPM的研究都正是基于这两个理论，从这两个理论出发，数学家、数学史家、数学教育家主要从三个方面研究了数学史的教育价值，即数学学习方面、数学指导方面、人文价值方面。以下就从这三个方面具体分析数学史的教育价值。^[5]

1. 在教学中融入数学史可以帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

现在高中学生对数学的感觉主要就是枯燥、难学。究其原因是现行的数学教材中的语言十分精练简洁，是经过千锤百炼，在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复研究编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法。如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。

荷兰著名的数学家弗赖登塔尔提出学习数学的“再创造”原理。他指出：数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来，这种“教学法的颠倒”，掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正地理解，更谈不上灵活运用了。

就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，教育家们相信，有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤。庞加莱指出：“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段．”波利亚在《数学的发现》中断言道：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。” ^[6]

所以，教师如果深入了解数学史，明确数学知识如何获得，获得的过程中遇到什么样的困难，是如何解决的，也就知道如何帮助学生获得知识，这对于教师设计教学，把握教学难点有指导作用。其次，介绍必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景产生更加深人的理解。认识到数学绝不是孤立的。它与其他很多学科都关系密切，甚至是很多学科的基础，对人类文明的发展起着巨大的作用。从数学史上看，牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家，又是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期．数学逐步进入社会科学领域，发挥着意想不到的作用，可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持。数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于一个学生是很有必要。

2.教师可以利用数学史探寻教学设计思路，更好地把握学生学习中的难点

人们根据德国生物学家海克尔所提出的生物发生学定律----“个体发育史重蹈种族发展史”运用于教育中，重新得出“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”，这就是著名的重现法则。20世纪80年代和90年代，有学者就某个主题进行了实证研究，结果发现：历史发展与个体认知发展是相似的，研究结果支持了这些论断。

就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，教育家们相信，有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤。庞加莱指出：“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段．”波利亚在《数学的发现》中断言道：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”

所以，教师如果深入了解数学史，明确数学知识如何获得，获得的过程中遇到什么样的困难，是如何解决的，也就知道如何帮助学生获得概念，这对于教师设计教学，把握教学难点有指导作用。

例如，学生在学习0、虚数、极限等概念时，常常出现理解上的困难，在学习字母表示数时，常常对字母所表示的数的任意性感到困难，而这正是数学发展史上，由于这些概念或方法的引进，引起数学研究工作者思想上困惑的时期，而且，正因为突破了传统观念的束缚，引进了这些概念和方法，才使数学研究的对象发生了重大的改变（从正数扩展到实数，从实数又扩展到复数；由定量研究转变为变量研究等），从而大大地推动了数学研究进程。因此，学生在理解上的困惑，某种意义上可以看成是数学发展史上的重演。借鉴数学发展史上的经验，教师可以准确的预计学生在数学概念学习中可能产生困难的地方，能更准确地判断产生问题的原因，有的放矢的为学生安排学习进程，为学生的学习提供更加恰当而有效的帮助。另外，通过数学史，还可以使教师树立正确、理性的“错误”评价观，有利于教师形成对“错误”的宽容态度，发现“错误”的积极、合理的成分，便于教师对学生出现的错误进行分析和界定类型，对“错误”进行个性化辅导。

3.数学史可以揭示数学发展过程中数学与社会、文化的关系

数学的发展不仅仅是因为数学内部发展的需要(无论是否因为功利或纯正的因素影

响)，从更广泛的角度讲，文化和社会的因素同样推动数学的发展。Rickey(l996)提出的教师的责任中强调了数学教师是数学文化的传递者。而通过数学史恰恰可以揭示其中的联系。

向学生展示数学的发展是一种人类的活动，可以帮助创造一种活跃的课堂气氛，增

加学生对数学的兴趣。使用数学史的一个重要方面是与作出贡献的数学家的真实故事相联系，通过将学生带入到数学家的调查和特殊数学发展所在背景的调查，可以提供学生对数学作为人类文化活动的意识，而且使得数学不会很枯燥，从而提高学生对数学学习的兴趣。最重要的是利用数学史可以使学生意识到:“数学不是偶然发生的，而是在数学家所工作的时代精神(流行文化的本质)和政策、社会经济情况的影响下，数学被促进或阻碍”。

现实的课本乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”。因此，只有借助数学史，通过“再创造”，我们才能把冰冷的美丽变成火热的思考。^[7]

二、数学史在教学中应用的层面

台湾师范大学洪万生教授指出教师应用数学史至少可以分为三个层次：

第一：说故事；

第二：在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；

第三：从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。^[8]

据此，我们在教学中应用数学史也相应的分为三种层面：

1.情感层面——激发学习兴趣

情感层面是指在教学中通过历史上发生的小故事、科学家的传记、趣题等内容提高学生学习的兴趣。

例如：坐标系概念的教学中可以从讲故事着手：

传说中有这么一个故事：有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们（如图 1）。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2）。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

图1             图2

无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人。这个有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感。^[9]　　

2.认知层面——促进对概念的理解

认知层面是指在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，提高学生对概念的理解。在教学中教师要总结知识发展的规律，概念发明和发现的方法。

例如：在函数概念的教学中我们可以遵循历史的足迹，比较函数概念在各个时期的变化，找到它们的区别与联系。

有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念。例如复数概念的教学中可以先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：正整数自然数非负有理数有理数实数，然后教师提出问题:上述数集扩充的原因及其规律如何？

分析如下：实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律：

(1) 每次扩充都增加规定了新元素；

(2) 在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；

(3) 扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。

有了上述准备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？教师呈现数学史上复数概念的产生遇到的困难和科学家们的解决思路，借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。^[10]

这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定基础。

3.文化层面——体会概念中蕴含的文化

文化层面是指从历史的角度注入数学概念一定的文化意义，主要是讲概念的价值和意义。例如坐标系概念可以从以下方面介绍：

(1)在学科中的意义

直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究。

笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何。他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的。比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的。我们把点看作是形成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩。^[11]

把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上，改变了传统的几何方法。笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几何中，动点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数。

(2)历史上的评价

恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学.”

以上三个应用的层面，在教学中都要有所涉及，但侧重点不同。从概念教学目的考虑，应以认知层面为主，以文化层面和情感层面为辅。^[12]

三、数学教学中融入数学史的步骤

关于数学史融入数学教学的过程，前人己经有相关的研究，如弗莱登塔尔认为，教师准备课堂上所需要的历史素材一般要经过以下路径:学习历史材料、选出适合的历史话题、分析课堂需要、制定课堂活动计划、实施方案、活动的评价。在此基础上，还有学者认为在中学教学中，常常是由于某一个教学单元的需要，或是想要介绍教材内容所提到的数学家，才开始寻找历史素材，即根据教材搜寻历史。因此，这一连串的准备过程，应该是双向循环的、动态的:(图3-1)

              图3-1                                 图3-2

有的学者给出了更具体的方法:如图3-2。这些途径或流程图在一定程度上确实可以帮助教师在高中数学教学中使用数学史，但是这些流程图仅为数学教师指出了一般方向，对于所涉及的具体的每一个环节该如何操作还是没有说明。此外，也没有如何根据这些流程图来具体的设计教材的案例。因此，这些途径或流程图还是属于理论的层面，无法给教师的具体操作提供直接的帮助。^[13]

通过对已有文献的查阅，我们不难发现，对于数学史融入高中数学的设计只有一些原则和建议性的方法，数学史融入高中数学的设计步骤还没有形成具体固定的模式。但是，以下的几个步骤是必不可少的。笔者希望能通过给出这几个必要的步骤，为广大的一线数学教师能够在日常教学中更好地使用数学史融入高中数学教学这种方法提供一些帮助。

具体的整合步骤可以分为两个部分，数学史融入高中数学的教材设计部分和教材的实践部份。第一部分，数学史融入高中数学的设计主要是利用数学史来设计数学教材，主要有两个阶段:准备阶段和设计阶段。准备阶段的工作是:分析高中数学教科书上数学知识处理方式的不足及其原因、收集关于这一数学主题的历史、分析数学主题的历史。设计阶段的主要工作是通过数学史来弥补教科书的数学知识呈现形式的不足，充分发挥数学史的教育功能。主要是对整个数学主题的历史介绍、数学主题概念的引入、数学主题的展开、任务的选择和解决等的设计。第二部分是教材的实践，主要有三个阶段:实验、评价和修改。实验阶段的工作是将整合了的资源材料运用到实际的数学教学中。评价阶段的工作就是要发现教材在实施过程中存在的问题。修改阶段就是要修改这些不足之处。修改完之后还需回到实验阶段，这样通过不断地循环，教材可以得到不断地改进。可以看出，数学史融入高中数学是一个长期的、不断完善的过程。以下将探讨具体步骤操作方法。

1.数学史与高中数学知识整合的教材设计部分

（1）准备阶段

①广泛阅读各种历史材料，收集关于这一数学主题的历史运用数学史，其中重要的一项工作是历史材料的收集，这就需要广泛地阅读集各种历史材料，包括:己有的数学史的教案、数学史教材、数学原始资料等，然后整理、提炼与数学教学内容有关的数学史材料。如果仅仅使用一些中学教学杂志和参考书中提供的有关利用数学史的教学的教案，那么数学史的取材范围也就过于狭窄。高中数学教学内容几乎都可以在数学史中找到相关的材料，完全可以拿来与数学知识整合，并在数学教学中使用。

另外，收集该数学主题的历史资料，主要从几个方面来收集数学史资源:1.数学主题产生的历史背景，包括社会背景，数学发展情况，经济文化状况；2.数学主题产生的目的是什么；3.数学主题产生的基础是什么；4.什么推动数学主题的发展；5.数学主题发展过程中那些国家、哪些数学家对此作出过什么贡献；6.数学主题发展过程中出现的困惑、问题。

②回顾数学史，分析高中数学教科书上数学知识处理方式的不足及其原因

如前所述，运用数学史是为了弥补教科书上数学知识处理方式的不足。因此，在数学史融入高中数学教学之前，教师必须首先明确高中数学教科书上数学知识处理方式的不足及其原因。如果教师运用数学史没能改变数学知识处理方式上的不足，那么，这种运用数学史的方式并不能真正发挥数学史的教育功能，最多也就是浅层次的运用。因此，分析高中数学教科书上数学知识处理方式的不足及其原因是首要的工作。

教师可以通过整理和分析整个数学主题的历史发展，比较历史的发展与教科书上数学知识的呈现有何不同，教科书上数学知识的呈现是否可以体现数学主题的历史发展，是否可以让学生体验知识产生的过程，是否有利于学生理解数学主题。通过这样的分析可以总结教科书上处理数学知识的不足。例如:分析对数在高中数学教材处理上的不足，在高中一年级第二学期的第四章中，对数的概念与运算是一个教学的重要内容。现有教课书对对数的处理使学生只认识了对数的概念是建立在指数的基础上的，这种处理方式，无论是从教材的系统性考虑还是从理论的内在联系性考虑都是合理的。但是还是存在一些不足之处:尽管可以用指数来引出对数，但是这样处理似乎过于简单，一方面，不能体现对数产生的背景和目的。另一方面，也不能体现对数是如何产生的。这将导致的后果是学生虽然能够理解对数由指数而来的基本关系，但是对对数的本质涵义把握不够，因而只是简单死一记硬背对数运算法则和有关公式。另外，学生也不理解学习对数的目的。知道了教科书上处理方式的不足和原因就可以有针对性地运用数学史。

（2）教材设计阶段

中学数学教材内容主要包括介绍整个数学分支的历史、数学概念引入、数学主题的展开(定理发现与证明)、任务的配置与问题的解决。

①介绍整个数学分支的历史

整个数学分支的历史是在展开某一数学分支内容时，通过对该数学分支的历史回顾，概括性描述该分支的内涵、特点、作用等。在此环节适当介绍该课程分支的发展历史知识与背景，例如，在三角学的教学时，将三角学的产生、发展介绍给学生，使学生站在三角学历史发展的长河之岸，鸟瞰所学知识在三角学发展过程中的地位与作用，从整体上认识、把握其概貌，构建起结构良好的知识网络。否则，容易造成只见树木不见森林的局面。

(2)数学概念的引入

在引入数学概念时可以叙述概念产生的背景、产生的历史原因和利用数学史上的问题、原始的数据(问题)引出数学主题，或介绍数学史上古老的方法来引出数学主题。这样有助于学生从整体上把握数学概念的发展脉络，感受隐含在概念演变与修正过程中的丰富智慧，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思维的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。譬如，引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史，使“对数”成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。

③数学主题的展开

根据数学主题发展目的制定数学教材展开的顺序，数学是遵循某一主要线索发展的。例如，对数理论的形成过程可以看成是为了建立完整的对数表的过程，许多定理、公式都是在此过程中建立的。通过重现这一发展的过程，可以激励学生去发现规律，总结定理，在发现探索过程启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎，从而极大地满足学生发现与发明的成就感。

因此，在数学定理的发现与证明中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，赋予定理以人文特性，从而激发学生的学习主动性与创造性。

④任务的选择和解决

任务的配置和解决，是指在在数学主题展开的过程中所需要的问题，这些问题是推动课题展开，激起学生探索与发现的关键。其选择的主要方法，一是利用推动数学概念产生与发展中的问题、数学家对数学主题的思维发展过程(概念形成过程中数学家的贡献)中提出和解决的问题。在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，旨在培养学生数学洞察力，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重醇陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。例如，对数产生的主要目的是为了计算的方便，其主要思想是将乘除转化为加减，因此在对数概念与性质教学时，可以以如何将乘除转化为加减来配置任务，使学生在探索的过程中理解对数，掌握对数的性质。而在对数的基本公式的教学时可以以如何建立对数表来配置任务，从而学生在建立自己的对数表的过程中，掌握对数的基本公式。

另一种是选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这些问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》《九章算术》等经典名著中的问题;在求解幂和问题时可介绍C.F.Gauss的方法、源于S.Pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法。^[14]

2. 数学史与高中数学教学整合方案的实施部分

（1）实验阶段

实验阶段主要是将数学史与高中数学教学整合的教材运用到数学教学中。首先，根据学生的情况将整合后的教材设计成教案，然后进行教学。在教学过程中，注意收集上课的情况。

（2）评价阶段

评价阶段主要是对数学史与高中数学教学整合教材的评价，可以从三个方面来评价整合后的教材:第一，对教材本身的评价，即通过教材好坏的标准来看整合的教材是否符合好教材的标准，如日本数学教育学会前会长川口廷就课题学习优秀教材的标准提出了如下几点:

l)具有强烈刺激学生主动学习的要因与形式。

2)具有能诱发学生多样的数学思考和创意的要因与形式。

3)感受到课题解决的必要性、累积的数学知识和技能得到动员、由此知识和技能得到锤炼的课题。

4)动员起来的知识和技能得到综合、综合功能得到发挥的课题。

5)能不断从问题产生问题、(为追求一般化)学习能连续地展开的课题。

6)解决的过程或结果能引导到问题的一般化或概括性规则发现的课题。

7)急于知道解决的结果带来的魅力能成为吸引学生主动学习的牵引力的课题。为此，在目标的隐藏性、距离与学生的能力取得平衡，能品味问题解决的达成感与成熟感的课题题；

第二，从教师使用教材情况方面评价，即从对教材的可操作性等方面为标准；

第三，从学生学习情况方面的评价，即从学生对数学知识的理解和掌握情况、学生对数学学习的态度方面来评价，可以借鉴一些数学态度的量表等工具。

本文主要从第三个方面来看数学史融入教学的效果，通过设计出的关于学生数学态度的问卷来评价教材的有效性。

（3）修改阶段

根据试验和评价结果修改整合教材的不足，然后再进行实验和评价以及修改，这样不断循环，使得教材不断的完善。

四、数学教学中融入数学史的原则

从已有资料中可以发现，对于数学史与数学教学整合的原则已有不少的研究。例如，在张奠宙、宋乃庆主编的《数学教育概论》中提到，数学史教育应遵循四个原则:科学性、实用性、趣味性、广泛性；李明振、庞坤在《数学史融入中学数学教材的原则方式与问题》^[15]一文中提出五条原则:科学定论的原则、匹配相同的原则、功能复合的原则、时空多元的原则、可读性的原则。张恭庆在前两位学者的基础上也提出了相似的原则。然而这些学者都是从数学史所具有的教育功能出发提出这些原则的，这就使得这些原则忽略教科书上数学知识的呈现方式的特点，忽视学生的认知特点。因此，这些原则对于指导如何将数学史与数学教学整合还是不够的。正是鉴于这样的原因，笔者从数学史的教育功能和数学教科书的特点出发，提出了数学史和高中数学教学整合的原则。笔者以为，数学史融入高中数学教学是一种更高层次的发挥数学史价值的教学活动，数学史已不仅仅是数学课堂的补充，更不是一种花瓶。数学史融入高中数学教学的整合要求我们从更深的角度来思考他们的关系，笔者认为以下原则是我们应该遵循的。

1.融入式原则

数学史的应用方式主要有两种，第一种是将数学史的内容“融入”数学课程，数学史是数学课程的一部分；第二种是将数学史看作独立于课程外的，但又可为数学教学服务的一个知识结构。作者通过实验，认为数学史在教学中的应用形式应为“融入式”，原因有下面三点：

首先是由应用数学史的目的决定的。数学史有三方面的表现形式：为历史而历史，为数学而历史，为教育而历史。数学史在教学的应用应该属于第三种情况。既然属于第三种情况，我们的目标就是为了更好的掌握数学知识而应用数学史，那么我们在应用时，应该将数学史中与教学有关系的内容穿插于教学中，而不是独立于教学之外。

其次是数学课程的原因。高中数学课程时间紧，任务重，高考的压力使教师和学生负担很重，如果在数学课程之外再让学生掌握系统的数学史知识是不现实的。

第三方面是学生认知的原因。高中阶段涉及的数学概念大都有很长的历史，例如数的概念，函数的概念，等等，都有很长的历史，涉及到的内容及概念的变化非常多。正所谓一个概念形成的历史越长，学生接受时相应难度也越大，因此我们在教学时应考虑学生认知的能力，将学生感兴趣，有能力接受的数学史知识融入教学。另外，数学史引进教学中的目的是为了促进学生学好数学。如果将数学史“强行”纳入数学课程，“贴标签”似的讲授，学生会因与其考试无关而抵制学习。

因此，教学中应用数学史必须根据教学内容和学生认知需求，将数学史由历史形态到教育形态进行转换，增加可读性和趣味性，让数学史真正融入数学教学，潜移默化的发挥作用。

2.优势互补原则

一方面，数学史资源的优势在于数学史可以激发学生学习数学的兴趣、丰富数学内容、帮助学生认识和理解数学、符合学生学习数学的顺序、使数学具有人文价值等。数学史与高中数学教学的整合，可以有效地促进学生对数学关系结构系统和个体意向的融合，这不仅有助于激发学生的学习兴趣，而且还有助于提高知识的迁移水平，增进对数学的理解和学习的信念，强化个体学习意向，并且这种意向也会反作用于认知，形成强有力的个体成就动机，促进数学认知和意向在更高层次上紧密融合。数学史家琼斯指出:希腊著名几何难题、阿基米德、卡丹、伽罗瓦、高斯等人的故事等都是课堂上的精彩有趣的历史话题。对一个数学问题，简略介绍研究的原因，最早的解法是什么，最后的解法是什么，最重要的或最好的解法又如何等等，都能激发学生的兴趣，因为学生对于人物、原因和最佳结果等有着天生的好奇心。数学史在数学和人文学科之间建立了一座桥梁，使得原本被学生认为是枯燥、乏味、无休止的计算的数学变为“有血有肉”学科。^[16]

另一方面，高中教科书上的数学知识是经过系统规划和整理的，具有严密的逻辑性，有利于教师传授数学知识，也有利于学生系统地学习数学知识。因此也不能忽略知识的系统性。

数学史与高中数学优势互补原则就是在整合时同时考虑到这两方面的优势，使得整合后的教材既有数学史的教育价值，又能兼顾教科书上数学知识的系统性。

3.过程与结果并重原则

呈现在教科书中的数学，通常省略了数学的产生、形成和发展过程，形成了抽象的或演绎的教学结构，数学问题变成了“结构良好的问题”。^[17]然而，抽象的、演绎的数学通常远离人的兴趣和意向，被人们认为深奥的，甚至是“冷酷”的东西，从而失去了活力。事实上，数学学习的重要目的是培养学生解决实际问题的能力，而现实中的实际问题通常是结构不良问题。新课程强调学生经历和体验知识形成过程，数学史在展示数学知识的原始背景、直观基础，思想方法等方面有得天独厚的优势。例如，数系的形成过程，微积分等学科产生和发展的历史对促进学生认识数学、深刻地理解数学具有很强的启迪意义。数学不应该都是一些“冰冷的美丽”的东西，还应该有“火热的思考”。另一方面，历史上每个数学知识的产生和发展几乎都是为了解决生活和生产实践需要提出来的。但传统课程却只重视数学知识的逻辑化过程，而忽视知识的提出和应用过程.新课程提出的多维课程目标，要求学生在数学思考和解决问题的过程中理解知识和技能学习的意义及知识应用的灵活性，获得的是灵活的数学知识和高层次数学思维能力。数学史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学学习价值和对数学发展的促进作用，关注数学与其他学科之间的关系，促进多维课程目标的协调发展。斯托利亚尔指出:“数学教学是数学活动的教学”。因此，我们也要重视数学历史研究中挖掘出来的数学思想方法、数学观念的形成过程。

但是，数学史与数学教学的整合不能从一种片面走向另一种新的片面，我们不能过于强调知识背景和形成过程，使得数学学习严重偏离教学目标，学生学不到真正的数学。数学教育的任务不仅是让学生在数学学习的过程中获得情感体验和对数学的深刻的理解，而且要获得进一步发展所必需的知识、技能和数学思维能力。因此，必须考虑重视过程和获得结果两个方面的平衡。在一定意义上，让学生经历数学知识的产生、形成和发展过程仅仅是对数学家发现数学过程的一种模拟。因此，数学史与高中数学整合必须注重数学知识、数学思想、数学观念的形成过程与数学知识并重的原则。

4. 符合学生认知规律的原则

现代教学理论强调以学生为中心，突出学生的主体地位，这就要求我们教材的设计也应突出这个中心。而且，数学教学活动是不同于其他活动的一种人类活动，它以改造人的思想思维为目的，我们的一切活动的进行要以人的认知规律为基础，而不是一种臆想或一种仅仅凭猜测的假设。因此，数学史与数学教学整合的教材设计应符合思维的发展规律，有利于学生知识的构建。数学史作用于数学教学设计，可以帮助我们正确地设计安排教学顺序。譬如，数学概念的产生，传统的方法是直接把概念展示给学生，然后举出不同的例子让学生去辨识，学生很难去进行主动建构，只能是囿圈吞枣式的死记硬背。历史告诉我们，新概念的产生往往经历了很艰辛的过程才得以发现。因此，应把教材上叙述的顺序颠倒过来，按照数学主题历史发展顺序去设计教学，并尽可能地引用历史背景，让学生自己经过努力去发现。^[18]

五、数学教学中融入数学史的策略

1. 问题策略——设置问题，激发学习动机

问题策略是指为了丰富学生在概念学习中的体验，将数学史中数学概念的形成过程、形式化的数学概念以及一些相关的材料转化成数学问题，形成问题情境，在问题的探究中“学数学、做数学、用数学”，最终构建概念的心理表征。

数学概念的教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用（包括概念所涉及的数学思想方法的运用）等阶段。在数学概念教学中，如何设计有效的问题情景，充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，探究规律，得出新的数学概念，从而使学生体验到数学概念的产生过程，提高他们对数学的认识水平，掌握数学思想方法，培养数学能力，这是数学概念教学要研究的首要问题。

动机来源于需要，而推动数学发展的原始动力就是数学问题。正是有了形形色色的数学问题，才产生了丰富多彩的数学概念，因此，概念教学的起点应是问题。我们平时所有的教科书是按演绎体系来编排的，即概念→定理→问题解决，反映了一种静止的数学观，但历史的真实面目并非如此，这是教学法的违背。真正的数学教育应遵循数学发展渐进系统化的过程，教学生像数学家那样“再创造”的方法去学习。重要的是，教科书的编写人员应将一些历史概况和数学思想变迁的重要例子写进教材，而学生通过解题讨论不同的猜想和过程，对自己的概念行成和难点及重要的观念的改变做进一步的了解也同样很重要。^[19]

目前我国的教科书没有做到这一点，因此这项工作需要教师去完成，教师要对教科书进行教学法的加工，使之符合人类认识这一概念的真面目。当然我们也应注意学生的在教学条件下学习概念不同于数学家创造概念，因此，通过教学法的加工所呈现的初始问题不一定就是数学家当时所面临的真实问题，但我们应遵循这一概念的思路设计较合理的问题情境，同时通过适当的指导来促进获得概念的进程加快。

数学史的应用必须问题化。这可以从两方面下手：其一，把概念生成过程问题化。一个概念是如何引入的？必要性和重要性何在？这些问题往往也是区分概念的本质特征和非本质特征的关键所在。因此教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使有关材料成为学生思考的对象。其二，把形式化的数学材料转化为蕴含概念本质特征、贴近学生生活的、适合学生探究的问题。通过学生动手操作，把数学拉到学生的身边，使数学变得亲切，把学生引向概念本质。

2. 有指导的再创造策略——追溯历史，重建数学概念

有指导的再创造策略是指利用数学史料进行课堂设计让学生经历数学知识的形成与应用，自主的生成概念。

再创造策略可以使学生更好的理解数学概念形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，增强学好数学的愿望和信心。特别是对于抽象数学概念的教学，要特别关注概念的形成的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。

弗莱登塔尔说得好：“我们不应该遵循发明者的足迹，而是经过改良同时又更好的引导作用的历史过程”，在教学过程中，学生应当有机会经历与数学事件的历史发展相类似的探究过程，但此时并不是真正的去创造，而是在教师的引导下获得知识。学生沿着历史发展的路径，了解某部分的数学概念的来龙去脉，在此过程中他们的学习也包含了再创造、再发现的意义。^[20]

有指导的再创造策略的应用要求教师的课堂设计应当具有一定的开放性，为学生提供“提出问题、探索问题”的空间，培养学生勤于思考的习惯、坚韧不拔的意志和勇于创新的精神。信息技术为数学试验提供了可能，教师应尽可能的使用科学计算器、计算机及软件、互联网、以及各种数学教育技术平台，支持和鼓励学生用现代信息技术学习数学、开展课题研究，改进学习方式，提高学生的创新意识和实践能力。